Der Schwingkreis Teil 3: Erklärung des Schwingungsablaufs II Differenzialgleichung der Schwingung (Aufstellen)

Differenzialgleichung der Schwingung

 

Wir machen da weiter, wo wir aufgehört haben...nämlich beim Energieerhaltungssatz im letzten Post:

Die Summe aus elektrischer und magnetischer Energie ist konstant.

Wenn man das hinschreibt, Größen ersetzt, etwas umformt, dann kommt man auf eine Differenzialgleichung einer Schwingung:

Zweite Ableitung der Schwingungsgröße + Konstante* Schwingungsgröße ergibt immer 0.

In der E-Phase hatten wir das schon bei mechanischen Schwingungen:

m*a + rücktreibende Kraft ergibt immer 0.

Die Beschleunigung a ist die zweite Ableitung des Weges und z.B. beim Federpendel ist die rücktreibende Kraft F = D*s (Federgesetz).
Sieht man die Auslenkung s als Schwingungsgröße an, erhält man genau so eine Differenzialgleichung wie sie oben steht....

Im Momnent ist das nicht wichtig, aber es wäre gut zu erkennen, dass wir hier etwas für alle Schwingungen dieser Welt gültiges machen. Im Abitur kann so etwas statt bei einem Schwingkreis für eine Feder in einer Aufgabe vorkommen.
Aber das werden wir später noch üben.

So, jetzt schaut euch mal die Herleitung auf meinem Notizzettel an und schreibt sie euch auf (nicht ab!). Versucht die einzelnen Schritte zu verstehen.

Diese Differenzialgleichung müssen wir jetzt lösen.

Ich erinnere:

Lösen einer Differenzialgleichung bedeutet, eine Funktion zu finden, die mit ihren Ableitungen eingesetzt, was Sinnvolles entstehen lässt.

Für das Auf- und Entladen eines Kondensators haben wir mit e-Funktionen gearbeitet (wir sind sogar einmal mit der Methode "Trennung der Variablen" auf die e-Funktion als Lösung gekommen. Das ging, weil nur die erste Ableitung aufgetaucht war).

Jetzt haben wir die Ursprungsfunktionn und die zweite Ableitung dieser Funktion. Da gibt es auch richtige Lösungsverfahren. Aber wir sind Physiker/innen!

Wir kennen die Natur!

Deswegen raten wir die Lösung und zeigen hitnerher, dass wir richtig geraten haben!

Und genau das sollt ihr jetzt mal tun!

Stellt euch vor, das wäre heute am Donnerstag das Ende unserer zweiten Stunde...dann hätte ich es euch als HA gegeben...nur jetzt um 21.45 Uhr wäre das etwas unangemessen...

Versuchts mal, im nächsten Post zeigen ich euch wie es geht.

Drei Tipps:

- Q(t) wird eine Ladungsmenge beschreiben, die hin- und herschwingt...da gibt es nur zwei mögliche Funktionen.
- Die Schwingung fängt an, wenn Q(t) maximal ist, der Kondensator aufgeladen ist...da bleibt nur eine der beiden Funktionen übrig...
- Wenn ihr alles richtig macht, steht am Ende unsere schon bekannte Frequenzformel...

Und die ist sinnvoll!

Der Schwingkreis Teil 3: Erklärung des Schwingungsablaufs I Felder

Warum tritt eine Schwingung auf? Umwandlung der Felder

Das wollen wir in mehreren Posts klären.
Ich habe mir das Video des Schweizer Kollegen noch mal angesehen und Einiges mitgeschrieben. Das ergänze ich durch Anmerkungen  von mir:

Er sagt:

1) Ladungen werden auf den Kondensator gebracht, sie fließen dann durch die Spule. Die Spule vermittelt so etwas wie eine Trägheit.
Müssen wir genauer formulieren...wir werden sehen, dass die Trägheit durch Induktionseffekte entsteht, pro halber Schwingung genau zweimal.

2) Das Magnetfeld drückt die Ladungen beim Abbau weiter.
Müssen wir genauer formulieren, das ist einer der beiden Induktionseffekte.

3) Die Animation des Abwechselns von elektrtischem und magnetischen Feld finde ich super und sehr wichtig. (Das war der Hauptgrund für die Auswahl des Videos)
Das Magnetfeld ist vorhanden, wenn der Strom durch die Spule fließt, das elektrische Feld, wenn der Kondensator aufgeladen ist.
Daran erkennt man wieder eine Phasenverschiebung von 90° zwischen U(t) und I (t)

4) Es liegt eine gedämpfte Schwingung vor.
Der ohmsche Widerstand erzeugt eine Wirkleistung, die entsprechende Energie geht verloren (wird in Wärme umgewandelt), deshalb die Abnahme der Amplitude.

5) Wenn die Kapazität steigt, sinkt die Frequenz.
Haben wir auch gesehen. Die Frequenzformel, die wir schon hatten, und jetzt nochmal herleiten und als Thomsonsche Gleichung verwenden werden, ergibt das auch.

In diesem Post fangen wir mit dem Einfachen an. Punkt 3, die Felder...

Bei einem Schwingkreis wandeln sich elektrische in magnetische Felder um.
Das ist wie bei einem Federpendel: Da wandelt sich potenzielle Energie in Federenergie um und zurück...oder einem Fadenpendel: Potenzielle Energie in Bewegungsenergie und zurück. 

Hier ist es elektrischen Energie, die sich in magnetische Energie umwandelt und zurück....

Die vier wichtigsten Phasen der Schwingung: 
Spannung am Kondensator - Strom durch Spule -umgekehrte Spannung am Kondensator - umgekehrter Strom durch Spule

 

Lernhelfer

Die Formeln dafür haben wir: Wel(t)= 1/2*C* U(t)² 
                                                 Wmag(t) = 1/2*L*I(t)² 

Zu jedem Zeitpunkt ist (falls der ohmsche Widerstand 0 ist, die Schwingung also ungedämpft ist ) die Summe aus der elektrischen und der magnetischen Energie gleich einem konstanten Wert Wo. 

Wel(t) + Wmag(t) = Wo, für alle Zeiten t

Wo ist die maximale Energie des elektrischen Feldes: Wo = 1/2*C*Umax² 
oder auch gleich der maximalen magnetischen Energie Wo = 1/2*L*Imax² 

Schreibt euch die entsprechenden Gleichungen einmal für Fadenpendel und Federpendel aus der E-Phase hin! 

Übung:
Schaut euch nochmal den Schwingungsfilm an. L und C gebe ich an, Imax könnt ihr beim ersten Ausschlag des Schwingungsamperemeters ablesen, Umax ist die beim Aufladen angelegte Gleichspannung. Karl und Lotte geben euch L und C an.

Mit diesen Werten könnt ihr auf zwei Arten die Gesamtenergie unserer Schwingung ausrechnen.
Vielleicht schreibt jemand mal die Rechenergebnisse als Kommentar, dann  können wir vergleichen. 

In der Formel oben sind die Maximalwerte der Energien gemeint. 

Der folgende Link geht etwas tiefer in die Materie, das ein oder andere machen wir noch in den nächsten Posts...aber merkt euch den Link mal, vielleicht kann man da was nachlesen.
Ich habe die schöne Abbildung des Vergleichs Federpendel/Schwingkreis dort ennommen.

Weiterführende Zusammenfassung zum Schwingkreis 

Im nächsten Post werden wir mit Hilfe dieser Energiebetrachtungen erneut die Resonanzfrequenzformel herleiten: einmal ohne Differenzialgleichung und einmal mit (das ist einfacher und kommt im Abi dran...).

Dann müssen wir den Verlauf von Spannung und Stromstärke während der Schwingung verstehen, d.h. die Punkte 1) und 2) oben genauer behandeln und auch die Rolle der Induktion diskutieren. 
Hier schon mal ein Hinweis: