Wir machen da weiter, wo wir aufgehört haben...nämlich beim Energieerhaltungssatz im letzten Post:
Die Summe aus elektrischer und magnetischer Energie ist konstant.
Wenn man das hinschreibt, Größen ersetzt, etwas umformt, dann kommt man auf eine Differenzialgleichung einer Schwingung:
Zweite Ableitung der Schwingungsgröße + Konstante* Schwingungsgröße ergibt immer 0.
In der E-Phase hatten wir das schon bei mechanischen Schwingungen:
m*a + rücktreibende Kraft ergibt immer 0.
Die Beschleunigung a ist die zweite Ableitung des Weges und z.B. beim Federpendel ist die rücktreibende Kraft F = D*s (Federgesetz).
Sieht man die Auslenkung s als Schwingungsgröße an, erhält man genau so eine Differenzialgleichung wie sie oben steht....
Im Momnent ist das nicht wichtig, aber es wäre gut zu erkennen, dass wir hier etwas für alle Schwingungen dieser Welt gültiges machen. Im Abitur kann so etwas statt bei einem Schwingkreis für eine Feder in einer Aufgabe vorkommen.
Aber das werden wir später noch üben.
So, jetzt schaut euch mal die Herleitung auf meinem Notizzettel an und schreibt sie euch auf (nicht ab!). Versucht die einzelnen Schritte zu verstehen.
Diese Differenzialgleichung müssen wir jetzt lösen.
Ich erinnere:
Lösen einer Differenzialgleichung bedeutet, eine Funktion zu finden, die mit ihren Ableitungen eingesetzt, was Sinnvolles entstehen lässt.
Für das Auf- und Entladen eines Kondensators haben wir mit e-Funktionen gearbeitet (wir sind sogar einmal mit der Methode "Trennung der Variablen" auf die e-Funktion als Lösung gekommen. Das ging, weil nur die erste Ableitung aufgetaucht war).
Jetzt haben wir die Ursprungsfunktionn und die zweite Ableitung dieser Funktion. Da gibt es auch richtige Lösungsverfahren. Aber wir sind Physiker/innen!
Wir kennen die Natur!
Deswegen raten wir die Lösung und zeigen hitnerher, dass wir richtig geraten haben!
Und genau das sollt ihr jetzt mal tun!
Stellt euch vor, das wäre heute am Donnerstag das Ende unserer zweiten Stunde...dann hätte ich es euch als HA gegeben...nur jetzt um 21.45 Uhr wäre das etwas unangemessen...
Versuchts mal, im nächsten Post zeigen ich euch wie es geht.
Drei Tipps:
- Q(t) wird eine Ladungsmenge beschreiben, die hin- und herschwingt...da gibt es nur zwei mögliche Funktionen.
- Die Schwingung fängt an, wenn Q(t) maximal ist, der Kondensator aufgeladen ist...da bleibt nur eine der beiden Funktionen übrig...
- Wenn ihr alles richtig macht, steht am Ende unsere schon bekannte Frequenzformel...
Und die ist sinnvoll!
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