Wechselstromwiderstände und komplexe Zahlen

gibt es als eigenen Workshop:

Workshop Mathematik: Komplexe Zahlen und ihre Anwendungen in Elektrotechnik und fraktaler Geometrie

Online ab 1.4.

In der Schule lernt man, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen darf...falsch...man erhält auf diese Art neue Zahlen, die man sich ganz einfach auf einer Ebene veranschaulichen kann. Durch einfache Rechenvorschriften kann man fraktale Muster wie hier die sog. Mandelbrotmenge erzeugen.

Auch die Widerstände von Spule und Kondensator lassen sich viel einfacher darstellen, letztlich sogar Felder und Potenziale durch gemeinsame Zeichnungen und Formeln.

https://SFNkomplexezahlen.blogspot.com

Ab dem 12.5. schreibe ich für etwa 6 Tage die Posts zur Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik.

Es lohnt sich da mal reinzuschauen:

Start der Postserie über Wechselstromtechnik

Hier möchte ich einen Schnelldurchgang mit Link zum Thema geben:

Komplexe Zahlen sind Punkte im Koordiantensystem Auf der x-Achse werden alle Vielfachen der Zahl 1 und auf der y-Achse alle Vielfachen der Zahl i = √(-1) dargestellt.
Man kann dann eine komplexe Zahl als z = (x,y) = x +i*y schreiben.

Einführung als Punkte

Es ist üblich, einen Pfeil vom Urspung zum Punkt als Darstellung zu wählen. Damit kann man die Vektoraddition übernehmen, obwohl komplexe Zahlen keine Vektoren sind, sie werdne nur so addiert (haben sonst aber andere Eigenschaften).

Pfeildarstellung komplexer Zahlen

Multiplikation und Division lassne sich auch leicht einführen. Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit i dreht den Pfeil um 90° entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn. Das wird besonders klar, wenn man die Zahl 1 mit i multipliziert.

Multiplikation, Division und mehr

Aus der Betrachtung des Einheitskreises übernimmt man direkt die Darstellung komplexer Zahlen über Sinus und Cosinus. Und damit kann man mit einer Zahl zwei Kurven gleichzeitig beschreiben.

Was haben sin und cos mit komplexen Zahlen zu tun?

Beide Funktionen lassen sich auch zu einer komplexen Exponentialfunktion zusammenfassen.

Komplexe Exponentialfunktion

Zwei Pfeile, die aufeinander senkrecht stehen und sich drehen können? Das erinnert an die Zeigerbilder von Spannungs- und Stromkurven in der Wechelestromtechnik

Zeigerbilder bei Spule und Kondensator

Und schon kann man komplexe Widerstände einführen:

Komplexe Widerstände

Ganz einfach lassen sich dann Wirkwiderstände/Leistungen, Blindwiderstände/Leistungen und Scheinwiderstände/Leistungen beschreiben.

Wirk, Blind und Schein

Das erleichtert uns dann komplizierte Rechnungen von Schaltungen durchzuführen.

Berechnung einer Brückenschaltung für Wechselstrom

Und wer das hier verstehen will, muss die  Kapitel über Chaos, Mandelbrotmengen und Juliamengen lesen...